Modelos Matemáticos y Algoritmos para Procesamiento de Señales

  • Separación Ciega de Fuentes

El problema de la Separación Ciega de Fuentes (“Blind Source Separation – BSS”), consiste en recuperar señales fuentes utilizando solamente registros de sus mezclas lineales capturadas por sensores. BSS tiene aplicaciones en el procesamiento de imágenes satelitales, en la separación de fuentes de radiación en Radioastronomía y muchas otras áreas.

La separación se dice “ciega” ya que no se conocen los coeficientes con los que se obtienen las mezclas y, por lo tanto, es necesario explotar propiedades de las fuentes y diseñar algoritmos para estimarlas a partir sólo de sus mezclas. Muchas veces las fuentes pueden ser consideradas estadísticamente independientes. En este caso, durante los últimos años se han propuesto numerosos algoritmos agrupados bajo el nombre de “Análisis de Componentes Independientes” (“Independent Component Analysis – ICA”).

Sin embargo, en muchas aplicaciones prácticas, la condición de independencia de las fuentes no es válida y deben estudiarse otras propiedades de las fuentes para desarrollar algoritmos de separación. En este último caso, los métodos se denominan de “Análisis de Componentes Dependientes” (“Dependent Component Analysis – DCA”).

En particular, DCA puede ser aplicado a los siguientes problemas:
– Estimación de los porcentajes de ocupación de materiales por pixel en la superficie terrestre a partir de imágenes satelitales híper-espectrales.
– Separación de fuentes de radiación en imágenes astrofísicas, más precisamente, se estudia el desarrollo de algoritmos para separar la señal del ruido cósmico o CMB (“Cosmic Microwave Background”) de otros tipos de radiación. Éste es un problema real con que nos encontramos a la hora de analizar los datos capturados, por ejemplo, por instrumentos radioastronómicos como es el caso del radiotelescopio Planck u otros instrumentos.

Ver información adicional en el siguiente artículo del Boletín del IAR (Nro. 33): http://www.iar.unlp.edu.ar/boletin/bol-jun11.htm#4

  • Descomposiciones Tensoriales

Las señales multidimensionales o tensores surgen naturalmente en las aplicaciones en Neurociencias o Astronomía. Por ejemplo, una imagen 3D producida por tomografía computada (CT) o resonancia magnética (MRI) corresponde al muestreo de una función f(x1,x2,x3) y cada modo corresponde con una dirección específica en el espacio (dimensión).
Las señales multidimensionales con las que nos encontramos en la práctica usualmente tienen una fuerte estructura interna, por ejemplo, están compuestas por la superposición de variaciones suaves de valores de intensidad y regiones de alto contraste (bordes). Una forma de poner en evidencia las estructuras presentes en los datos es considerar modelos en los cuales un tensor puede ser expresado como un producto de un tensor con una estructura determinada y varias matrices correspondientes a cada dimensión. Una de las factorizaciones tensoriales más utilizada es la conocida descomposición de Tucker.
El objetivo es estudiar distintas formas de descomponer tensores en elementos constitutivos más simples que capturen la información esencial de los datos y desarrollar algoritmos para calcular estas representaciones a partir de los datos.

  • Sensado Comprimido Multidimensional

Recientemente, se ha observado que las señales no cubren uniformemente el espacio en el cual viven ni tampoco se limitan a un subespacio del mismo, sin embargo, pueden expresarse como una combinación lineal de unos pocos elementos de una base conocida del espacio (Diccionario). Esta observación surge básicamente de realizar una transformación especial de la señal, por ejemplo utilizando una base tipo Wavelet, y observar que los coeficientes obtenidos concentran su energía en unos pocos coeficientes. En este sentido se dice que la señal en cuestión tiene una representación sparse (representación económica) en la base Wavelet (Diccionario).

La Teoría del Sensado Comprimido (“Compressed Sensing”) desarrollada recientemente, propone algoritmos que permiten recuperar señales con una representación sparse a partir de información limitada de las mismas. Esta teoría generaliza la teoría clásica del muestreo de Shannon y permite, en ciertos casos, recuperar señales aun en el caso en el que el criterio de muestreo de Nyquist no se cumpla.

Por otro lado, otra característica de muchas señales de interés es su naturaleza multidimensional la cual debe tenerse en cuenta a la hora de construir modelos matemáticos. Con este fin, se propone utilizar modelos para datos tensoriales, en particular, se utilizan factorizaciones tensoriales desarrolladas en Matemáticas. Así como la teoría del Sensado Comprimido (compressed sensing) explota la representación sparse de señales unidimensionales (vectores), se propone utilizar las propiedades de las representaciones sparse de tensores (datos con estructura multidimensional) para la diseño de algoritmos de procesamiento de señales eficientes. Se desarrollan modelos matemáticos de señales multidimensionales haciendo uso del modelo de Tucker donde los diccionarios tienen una estructura de Kronecker. Se estudian las propiedades de estos diccionarios estructurados, se desarrollan algoritmos eficientes para la búsqueda de diccionarios óptimos y para el cálculo de las representaciones sparse correspondientes. Se estudia la reconstrucción de señales multidimensionales a partir de datos incompletos generalizando algoritmos existentes en el caso unidimensional (vectores) y bidimensional (matrices) al caso multidimensional (tensores).

  • Investigador involucrado:

Dr. César Caiafa